Adam Palka jest absolwentem Akademii Muzycznej im. Stanisława Moniuszki w Gdańsku. W latach 2007-2009 był asystentem w klasie śpiewu solowego profesora Floriana Skulskiego. W 2009 roku za osiągnięcia artystyczne został wyróżniony Nagrodą Teatralną Marszałka Województwa Pomorskiego oraz nagrodą teatralną Miasta Gdańska. W 2010 roku zdobył II nagrodę w kategorii głosów męskich na VII Międzynarodowym Konkursie Wokalnym im. Stanisława Moniuszki w Warszawie. W 2011 roku został finalistą konkursu Plácida Domingo „Operalia” w Moskwie.
W sezonie artystycznym 2009/2010 był członkiem studia operowego przy Operze w Zurychu, a następnie przez trzy lata należał do zespołu solistów w Deutsche Oper am Rhein w Düsseldorfie, gdzie występował m. in.: jako Don Basilio („Cyrulik sewilski” Gioachina Rossiniego), Leporello („Don Giovanni” Wolfganga Amadeusza Mozarta), Figaro („Wesele Figara”) i Colline’a („Cyganeria” Giacomo Pucciniego). Od sezonu 2013/2014 dołączył do zespołu Staatsoper Stuttgart, gdzie śpiewał takie partie, jak: Walter („Luiza Miller” Giuseppe Verdiego), Rodolfo („Lunatyczka” Vincenza Belliniego), Gremin („Eugeniusz Oniegin” Piotra Czajkowskiego), Sir Giorgio („Purytanie” Vincenza Belliniego) czy Mefistofeles („Faust” Charlesa Gounoda).
Występował także w Royal Opera House w Londynie, Teatrze Bolshoi w Moskwie, Operze Wiedeńskiej, Teatro Real w Madrycie, New National Theater Tokio, Opernhaus Zürich, Grand Théâtre de Geneve, Oper Köln, Théâtre Châtelet w Paryżu, Opéra de Lille, Opéra de Saint-Etienne, Opéra de Toulon i Operze Bawarskiej w Monachium. Na scenie Teatru Wielkiego – Opery Narodowej w Warszawie zadebiutował jako Sparafucile w „Rigoletcie” Giuseppe Verdiego (w 2008 roku), kreował tu także partie w m. in.: w „Roberto Devereux” Gaetana Donizettiego (u boku Edity Gruberovej w 2010 roku), „Wilhelmie Tellu” Gioachina Rossiniego i „Pasażerce” Mieczysława Weinberga.
W 2021 roku otrzymał prestiżowy honorowy tytuł Kammersänger, przyznawany w Niemczech najwybitniejszym śpiewakom operowym. Wyróżnienie jest wyrazem wdzięczności i uznania dla pracy artysty, który od 2013 jest członkiem zespołu Staatsoper Stuttgart.
W najbliższych sezonach artysta pojawi się m. in.: na scenach Gran Teatre del Liceu w Barcelonie, Opéra National de Paris i Canadian Opera Company w Toronto.
Artysta wystąpi w nagłym zastępstwie rosyjskiego basa Ildara Abrazakowa, w tej produkcji w roli Niani zadebiutowała na scenie mediolańskiej La Scali Agnieszka Rehlis. Spektakl poprowadzi Richardo Chailly.
